Широкую известность он получил после выхода на телевизионные экраны программы "Городок". Его партнеров по программе был Юрий Стоянов.
- Я сейчас абсолютно не в состоянии что-то говорить об Илье. Я не могу поверить, что его больше нет. Я убит горем… - сказал Стоянов журналистам.
Илья Львович Клявер родился 10 июля 1947 года в Кишинёве в еврейской семье шорника Льва Клявера и домохозяйки Клары Клявер; вырос в кишинёвском районе Магала, населённом главным образом ремесленниками. В 1965 году поступил и в 1969 году окончил ГУЦЭИ - Московское государственное училище циркового и эстрадного искусства. С 1969 по 1971 Олейников проходил срочную службу в рядах Советской Армии. Работал артистом в Москонцерте, а с 1974 по 1990 годы в Ленконцерте в качестве артиста разговорного жанра.
Взял сценический псевдоним Олейников (фамилия жены Ирины Олейниковой), когда начал работать в дуэте «Казаков и Олейников» с артистом Романом Казаковым, который был не только его сценическим партнером, но и его лучшим другом. Дуэт работал также с Владимиром Винокуром (в частности, в эстрадно-пародийной программе «Нет ли лишнего билетика»).
В 1977 году вместе со своим партнёром по сцене Романом Казаковым становится лауреатом Всесоюзного конкурса артистов эстрады.
В 1993 году Илья Олейников вместе Юрием Стояновым создают программу «Городок», в которой он участвовал до последнего времени.